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Die Laplace-Formel ist eine mathematische Formel aus der elementaren Wahrscheinlichkeitsrechnung. Hat ein Zufallsexperiment nur endlich viele Elementarereignisse und haben diese alle die gleiche Wahrscheinlichkeit, so gilt für die Wahrscheinlichkeit P ( A ) {\displaystyle P(A)} eines Ereignisses A {\displaystyle A} :

P ( A ) = Anzahl der Ergebnisse, bei denen das Ereignis A eintritt Anzahl aller möglichen Ergebnisse {\displaystyle P(A)={\frac {{\text{Anzahl der Ergebnisse, bei denen das Ereignis }}A{\text{ eintritt}}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}}}

oder formeller

P ( A ) = | A | | Ω Ω | {\displaystyle P(A)={\frac {\left|A\right|}{\left|\Omega \right|}}} ,

wenn | A | {\displaystyle |A|} und | Ω Ω | {\displaystyle |\Omega |} die Anzahl der Elemente des Ereignisses A {\displaystyle A} bzw. der Ergebnismenge Ω Ω {\displaystyle \Omega } bezeichnen.

Benannt ist die Formel nach dem französischen Mathematiker, Physiker und Astronomen Pierre Simon Laplace (1749–1827).

• Beispiele und Gegenbeispiele

• Roulette

• Ziehen aus einer Urne

• Doppelwurf eines Spielwürfels

• Geschlecht eines neugeborenen Kindes

• Siehe auch

• Literatur

• Einzelnachweise

Beim Roulette wird eine der 37 Zahlen 0 bis 36 ausgespielt. Hierbei soll aufgrund der Beschaffenheit des Roulette-Tellers und der Vorgehensweise bei den Ausspielungen gewährleistet sein, dass die Roulette-Kugel mit derselben Wahrscheinlichkeit auf jeder der 37 Zahlen liegen bleibt. Unter diesen Voraussetzungen wird jede der 37 Zahlen mit der Wahrscheinlichkeit p = 1 37 {\displaystyle p={\tfrac {1}{37}}} ausgespielt.

Beim einfachen zufälligen Ziehen aus einer Urne mit n {\displaystyle n} gleichartigen nicht unterscheidbaren Kugeln wird jede Kugel mit der Wahrscheinlichkeit p = 1 n {\displaystyle p={\tfrac {1}{n}}} gezogen.

Beim zweimaligen Werfen eines Spielwürfels gibt es 36 mögliche Ergebnisse für die Augenzahlkombinationen

Ω Ω = { ( i , j ) ∣ ∣ i , j = 1 , … … , 6 } {\displaystyle \Omega =\{(i,j)\mid i,j=1,\dotsc ,6\}} .

Ist der Spielwürfel ein Laplace-Würfel, so beträgt bei vier Ergebnissen die Augensumme 9, nämlich bei (6, 3), (5, 4), (4, 5), (3, 6), wobei alle Würfe mit der Augenzahl 9 gleich wahrscheinlich sind. Deshalb ist

P ( A ) = 4 36 = 1 9 {\displaystyle P(A)={\frac {4}{36}}={\frac {1}{9}}}

die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A {\displaystyle A} , die Augensumme 9 zu erhalten.

Auch wenn es sich bei dem Spielwürfel um einen Laplace-Würfel handelt, sind die elf Ereignisse des Auftretens der Augensummen 2 bis 12 nicht gleich wahrscheinlich. Darüber hinaus ist es bei diesem Experiment unmöglich, gleichwahrscheinliche Augensummen durch Würfelmanipulation zu erreichen.cite-ref-honsberger-1-0[1]

Dies lässt sich mittels eines

Widerspruchsbeweises

zeigen.

Es sei p i {\displaystyle p_{i}} die Wahrscheinlichkeit, dass mit dem ersten Würfel die Augenzahl i {\displaystyle i} und q i {\displaystyle q_{i}} die Wahrscheinlichkeit, dass mit dem zweiten Würfel die Augenzahl i {\displaystyle i} geworfen wird. Dann ist p 1 q 1 {\displaystyle p_{1}q_{1}} die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 2 und p 6 q 6 {\displaystyle p_{6}q_{6}} die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 12.

Wären alle elf Wahrscheinlichkeiten der Augensummen 2 bis 12 identisch, so müsste jede dieser Wahrscheinlichkeiten 1 11 {\displaystyle {\tfrac {1}{11}}} betragen.

Für die Wahrscheinlichkeit der Augensumme 7 würde dann gelten:

1 11 = p 1 q 6 + p 2 q 5 + p 3 q 4 + p 4 q 3 + p 5 q 2 + p 6 q 1 {\displaystyle {\frac {1}{11}}=p_{1}q_{6}+p_{2}q_{5}+p_{3}q_{4}+p_{4}q_{3}+p_{5}q_{2}+p_{6}q_{1}}

≥ ≥ p 1 q 6 + p 6 q 1 = p 1 q 6 ( q 1 q 1 ) + p 6 q 1 ( q 6 q 6 ) = p 1 q 1 ( q 6 q 1 ) + p 6 q 6 ( q 1 q 6 ) {\displaystyle \geq p_{1}q_{6}+p_{6}q_{1}=p_{1}q_{6}\left({\frac {q_{1}}{q_{1}}}\right)+p_{6}q_{1}\left({\frac {q_{6}}{q_{6}}}\right)=p_{1}q_{1}\left({\frac {q_{6}}{q_{1}}}\right)+p_{6}q_{6}\left({\frac {q_{1}}{q_{6}}}\right)}

= 1 11 ( q 6 q 1 ) + 1 11 ( q 1 q 6 ) = 1 11 ( q 6 q 1 + q 1 q 6 ) {\displaystyle ={\frac {1}{11}}\left({\frac {q_{6}}{q_{1}}}\right)+{\frac {1}{11}}\left({\frac {q_{1}}{q_{6}}}\right)={\frac {1}{11}}\left({\frac {q_{6}}{q_{1}}}+{\frac {q_{1}}{q_{6}}}\right)}

⇔ ⇔ q 6 q 1 + q 1 q 6 ≤ ≤ 1 {\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {q_{6}}{q_{1}}}+{\frac {q_{1}}{q_{6}}}\leq 1} (*)

Wegen x + 1 x ≥ ≥ 2 {\displaystyle x+{\frac {1}{x}}\geq 2} für alle reellen Zahlen x > 0 {\displaystyle x>0} ergibt sich ein Widerspruch zu (*).

Damit ist bewiesen, dass die Augensummen 2 bis 12 niemals gleich wahrscheinlich sein können.

Statistisch ist nachgewiesen, dass Knaben- und Mädchengeburten nur annähernd gleich wahrscheinlich sind, wenn auch in vielen stochastischen Aufgabenstellungen Gleichwahrscheinlichkeit angenommen wird.cite-ref-bosch-2-0[2]

• Gleichverteilung

• Indifferenzprinzip

• Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt. 8. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0063-5.

cite-note-honsberger-11. ↑ Ross Honsberger: Gitter - Reste - Würfel Friedrich Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1984, ISBN 978-3-528-08476-9, S. 130 und 131

cite-note-bosch-22. ↑ Karl Bosch: Statistik für Nichtstatistiker - Zufall und Wahrscheinlichkeit R. Oldenbourg Verlag München Wien 2007, ISBN 978-3-486-58219-2, S. 16–21